051 授课（1 / 1）

第二天一大早，龙小乐就被海棠揪到鲲鹏书院，没想到杜维把龙小乐的可安排在下午，让所有的先生都过来听课，还有一些比较优秀的学生。

上午龙小乐研究了一下书院教的内容，确实如方听雨所说都是圣贤书，为了日后当官用的，至于理科方面的基本上是一片空白，研究了半天龙小乐决定下午讲几何学，比较实用的一些内容。

书院的先生还有学生都知道龙小乐出的那几个题，这种题以前从来没有听说过，对那个出题的无角人非常感兴趣，听说他被聘为书院的先生，听说无角人只有三四岁，更觉得惊奇，都想来一睹他的风采。连其他书院的先生都被惊动了，第一时间知道这件事的几位校长亲自上门来听龙小乐的课。

严松负责维持秩序，看见眼前黑压压的大片人群都想听龙小乐的课，赶紧搬救兵，临时让海棠、聂云风还有摩奇也过来帮忙。实际上绝大多数人都是来看无角人的，何况昨晚在会长府上龙小乐精彩的表演已经传遍幽州城，那是张远山的功劳，顶碗、口中喷火、吞剑还有龙小乐与小乖那是庆典的四大最值得期待的节目，大清早就派人四处散布消息。

海明走了，但庆典还是要进行的，张远山按照预定的计划有条不紊地进行准备。要想很快散布一条消息，那就去集市，你喊上一嗓子，不多久很多人都知道了，还有一个地方就是学校，你上书院让先生给学生一说，学生放学回家沿途散布不说，关键是先生说的具有说服力。

看着台下密密麻麻的人群，杜维非常高兴，看来请龙小乐请对了，不过也有点紧张，不知道龙小乐课讲得怎么样，应该先只找几个人听听就好了，不过他学问这么高，应该没问题，最多就是大家都听不懂，那只能怨自己不能怪先生。

龙小乐讲的不是欧几里德的《几何原本》，而是希尔伯特的《几何基础》。龙小乐没有简单引入最基本的公理公设，而是完整地介绍了希尔伯特公理体系，以及建立一个几何公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：第一，共存性也叫和谐性，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。

讲到这里，龙小乐发现下面的听众很少有听得懂的，看见他们一脸茫然，赶紧抛出非欧几何来解析公理系统还有它的完备性。首先解释欧几里德的第五公设等价于“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”，然后告诉大家欧几里德第五公设也就是平行公理是可以被取代的。非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理。首先介绍了一下罗氏几何，罗巴切夫斯基提出的平行公理是：通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。

罗巴切夫斯基本准备利用反证法来证明欧几里德的第五公设是不能被前四个公设证明，没想到在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

而黎曼几何的平行公理是：同一平面上的任意两条直线一定相交。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它认为直线可以无限延长，但总的长度是有限的。同样黎曼几何也是完善的、严密的几何学。

当龙小乐讲到三种几何体系的直观意义的时候，下面的听众大吃一惊，因为欧几里德说：三角形三内角的和等于180度；罗巴切夫斯基说：三角形三内角的和小于180度；黎曼则说：三角形三内角的和大于180度。

海棠首先举手问：“你说的欧式几何更好理解一些，也是我们日常生活中采用的，其它两种非欧几何好像没有什么现实意义，究竟有什么用？”

“问得好，你有没有见过比头发丝还细百万倍的物体？”

海棠摇摇头。

“那你有没有研究过航海航空问题？”

海棠还是摇摇头，听不懂龙小乐在讲什么。

“在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。”

“你怎么知道？再说欧几里德、希尔伯特、罗巴切夫斯基还有黎曼都是些什么人？”

龙小乐心里一阵紧张，心脏咚咚咚快速跳动，心想准备太不充分了，至少那帮牛人的名字应该隐去不讲，而且航海航空海棠肯定不懂，至少航空肯定闻所未闻，不然上次不会问上天能否摘星星。

龙小乐这辈子没给别人讲过课，只能怨自己没有经验，起码应该先和杜维还有一些老师聊聊天，准备个几天再开讲。现在被海棠问道痛处，总不能老老实实说自己来自另外一个世界吧？那很有可能会成为一只待宰的羔羊，看来只好胡扯了：“说实话，在猴头村我曾捡到一块羊皮卷，上面记载了这些几何学的知识，我研究了很久，每天夜晚仰望星空我都在思考这些问题，终于想明白了一些道理，我会把这些心得体会都讲出来。”

“那块羊皮卷呢？”海棠赶紧问。

“有一天和小乖玩耍，不知道被它扔到什么地方，我也不在意，因为我都弄懂了。”说了一个谎话，就不得不编上千个谎言来圆这个谎，这个道理龙小乐是知道的，但现在他不得不编下去，因为实话实说把自己置身于危险之中，寄希望别人的仁慈那是不靠谱的事情。

海棠望了望摩奇与小乖，摩奇一点茫然说：“我怎么不知道？”

“你每天练功十多个小时，怎么可能什么事都知道？再说你根本不关心这些东西，因为你一心只想复仇。”提到复仇就捏住了摩奇的七寸，他绝对不会再去想其他的事情，大脑中满是飞天猴子各种各样的形象，恨不得对方立刻钻出来让他砍上几刀。

“很奇怪，羊皮卷上的这些人我们从来没有任何人听说过。”方听雨说出了心中的疑惑。

“也许是从西方流传过来的，比如先知海明就是漂洋过海去了西方世界给我们带来了《光明圣经》，也许在他之前有人也成功从西方跨过大海来到九阳镇，完全有这个可能，因为猴头村离大海很近，只有一百多里。”说着说着连龙小乐都觉得那块羊皮卷应该存在。

方听雨想想也是这个道理，下面的人也大都认同这个道理，谁会想到上面的这位大学者会在这个问题上撒谎。

龙小乐心想说到海明，下次碰见他得好好问问西方世界究竟是什么样子，科技会不会比这边先进发达。

当天的课程就算结束了，龙小乐总算挺过了这难熬的三个时辰。课后少不了有人问他一些问题，特别是海棠，助教身先士卒，冲在最前面。看见这么多人问问题，龙小乐又觉得自己这堂课应该是成功的，只要有人感兴趣，那就好办，怕就怕下面的人没听懂也不感兴趣，今天来了就没下次。

也有很多人只对无角人感兴趣的，远远地围观指指点点，苦于没有照相机无法合影留念，不过不远处还真有几个年轻人支着画板类的东西一边观望一边在上面划来划去。

当天晚上，方听雨敲开了老师的门。

“听雨，这么晚了还没睡？”

“老师，我总觉得无角人非常古怪，他实在太聪明，完全超出了我们所能理解的范围。”

“那有什么不好？我们可以学到很多东西，至少他今天下午讲的那些就很有意思。”杜维提起下午龙小乐讲的那些内容就神采奕奕。

“老师，再见到他之前我们从来没有见到过什么无角人，也没有听说过，他就像凭空出现的，您不觉得有些蹊跷？”方听雨说到这，压低了声音。

“听雨，你究竟担心什么？”

“老师，我也说不清楚，但我就是有些忧心忡忡，比如他的父母在哪？为什么会无缘无故出现在天仑山？摩奇有没有说谎？今天下午的羊皮卷为什么会丢？至少换作我，我一定会把羊皮卷像珍宝一样保存，而且羊皮卷上记载的内容我们闻所未闻。”方听雨一股脑将心中的疑惑全部说出来。

“听雨啊，你说的也有些道理。可是海棠也聪颖过人，也不是我们能够理解的，不过龙小乐毕竟还是要高出一截，也许就是因为他读过羊皮卷的原因……”

看见老师痛苦思索的表情，方听雨赶紧安慰他：“也许我是杞人忧天，正如老师所言，无角人给我们带来知识，对我们而言是百利而无一害。”

杜维点点头说：“期望如此。”

第二天，龙小乐吸取了前一天的教训，晚上回去后就在海府书房备课，根据前一天反馈的问题，做好了充分的准备。讲的内容虽然还是几何学，不过更加浅显易懂，杜维是连连称赞，吩咐了好几名弟子仔细做笔记，务必记下龙小乐的每一句话说的每一个字。龙小乐笑着说：“不用那么麻烦，我把备课笔记借给你们抄不就得了。”

严松在一旁赶紧说：“那不一样，先生上课讲的内容比备课准备的内容多很多，而且有些解释教案上根本没有。再说老师吩咐了，以后我们也要给学生讲这些内容，有了先生的讲课记录，我们理解和讲授方便很多。”

“能不能不叫先生，听着有些别扭。”

“先生的学识渊博，我们佩服得五体投地，能够从您这学到东西，叫声先生是应该的。”严松说的非常诚恳。

“还就你叫得让我听着别扭。”

严松光笑不言语。

十来天过去了，平面几何部分总算讲完了，然后是有理数与无理数讲了两三次课，边长长度为1的正方形，它的对角线长度是多少，下面的听众用毕达哥拉斯定理计算了半天，没有得到满意的答案，龙小乐顺理成章正式引入根号2这个无理数，然后是无理数的概念。接下来龙小乐隆重推出代数方程，什么一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程等等――

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